主思想

  回忆基本解法---
  (失败后)—可以求出____
		  — _____与此相关、代换

函数

基本函数

函数零点

使 $f(x)=0$ 的实数x,叫零点

求函数零点——**1.**利用零点存在性定理 **2.**转化为两个基本函数交点问题 **3.**利用根的分布

$f(g(x))$ -设内层函数 $g(x)=t$ ,分离参数。

函数模型

构造函数方法——**1.**利用变量-用 $x$ ,常数照抄 **2.**利用公式 **3.**归边构造

模型的选择——**1.**人为定义 $x=1,2,3$ ...... 2. 要根据实际误差选择

多元问题

基本思想——1. 减少未知数的个数，形成函数 2. 放缩

~恒成立——用最值代替，逐步消元。

三角函数

求 $\frac{a}{n}$ 终边所在象现---考虑0到 $n-1$ 之间的数

三角恒等变换

基本思想

1. 切割化弦-通分，提 $\sqrt{a^2+b^2}$ 2. 化角: 与已知角,特殊角挂钩 3. 降次与升冥:消去高次与 $/sqrt {}$ 号
4. 异角化同角: 以便简化运算 5. 消 1 :利用 $sin^2\alpha+cos^2\alpha$ 代替
6. 展开-重新合并:含有特殊角(与已知角相加/减/倍/半)

基本公式

辅助角公式

a sin \alpha + b cos \alpha = \sqrt {a^2+b^2} cos(\alpha-\phi)

加减公式

sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha+cos\beta

sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha cos\beta

tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}

tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}

2倍角公式

sin2 \alpha = 2sin\alpha cos\alpha = 1-cos^2\alpha

cos2\alpha = cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha

tan2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}

降次公式

cos2\alpha = 2cos^2\alpha-1 \rightarrow\rightarrow cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}

sin^2\alpha = \frac{1-cos2\alpha}{2} \rightarrow\rightarrow sin^2\alpha= \frac{1-cos2\alpha}{2}

积化和差

sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]

sin\Phi + sin\theta = 2sin\frac{\Phi+\theta}{2}cos\frac{\Phi-\theta}{2}

其他

tan\frac{\alpha}{2}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}

tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{tan\alpha}=cot\alpha

注意 : $a^2 +b^2 > c^2$ 成立，则c为锐角。

平面几何

解三角形

三角形中的最值、范围

设角度—成函数
设长度—放缩
退一步，先找动点轨迹(顶点)

已知特殊角

已知特殊角—利用余弦定理建方程

意识

有中线

延长形成平行四边形

分式

转化成整式

无限制图形

无限制图形--取相等，得最值

向量

主思想

1. 作出来 2. 代换----重新选择路径、加减、中线向量 3.基底化 4. 坐标化 5.实施乘方，点乘等运算

性质

若a//b,则b= $\lambda$ a(a $\neq 0$ )

若a,b不共线，且 $\lambda$ a= $\mu$ b,则 $\lambda=\mu=0$

若a,b不共线，且ma+nb=pa+qb,则有m=p,n=q(对应系数相等)

若a b不共线，且(ma=nb)//(pa+qb),则mq-np=0

若O是平面 $\Delta ABC$ 内一点，则OA+OB+OC=0, 则O是重心。

若O是平面 $\Delta ABC$ 内一点，且sOA+tOB+rOC=0,则 $S_{\Delta AOB}$ : $S_{\Delta BOC}$ : $S_{\Delta AOC}$ =r:s:t

定理

1.若点O在直线A,B外一点，且OP= $\lambda$ OA+ $\mu$$**OB**,则P,A,B三点共线，等价于$ \lambda + \mu =1$

2.若OA，OB不共线，且OP= $\lambda$ OA+ $\mu$ OB,直线OP交直线AB于点C,则 $|\lambda+\mu|=\frac{|OP|}{|OC|}$

3. 若AB=( $x_{1}$ , $y_{1}$ ) AC=( $x_{2}$ , $y_{2}$ ),则 $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}||x_{2}y{1}|$

数量积

求法----**1.**定义法: $|\vec{a}||\vec{b}|cos\beta|$

**2.**公式法: $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ **3.**几何意义:模X投影

4 极化恒等式

向量方程

~处理——1. 移项归边 2. 平方 3. 两边同时点乘同一向量

直线与方程

$l_{1}$ // $l_{2}\Longleftrightarrow k_1 = k_2$ $l_1\bot l_2 \Longleftrightarrow k_1 \cdot k_2$

实质

直线上的点的横纵坐标所满足的关系

计算

1.直接计算 2.利用方程计算

曲线过定点

1.利用:参数的"系数"=0 2.利用:不含参的项=0

对称点的求法

利用: 1.斜率之积=-1 2.中点在对称轴上建立方程(组)

若对称轴方程中的一次项系数的绝对值为1时，可以利用反代求出对称点的坐标

代数

数列

通用

用观察法求 $a_{n}$ : 1. 因式分解法 2. 加1减1法 3. a,aa,aaa,aaaa.......----先提 $\frac{a}{9}$

正负相间-用 $-1^{n},sin \pi ,cos n \pi$ 来转化。

任意p,q——赋值产生递推式

开放性题目——1.从定义，定理直接判断求解。 2. 从必要条件入手，再检验充分性

已知` $S_{n}$ 求 $a_{n}$ ——**1.**再构造一个相减 2. 统一为 $S_{n}$ 间的关系(先求 $S_{n}$ 再求 $a_{n}$ )

裂项

强迫裂项

1.\frac{1}{(13-3n)(10-3n)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{10-3n}\frac{1}{13-3n})

2.\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]

3.\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{(2n-1)(n+1)}=1+\frac{1}{2}[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]

4.\frac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{k+2}}{k+2}-\frac{2^{2k+1}}{k+1}

设 $\frac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=\lambda (\frac{2^{k+1}}{k+1}-\frac{2^{k+2}}{k+2} )$

一般的： $\frac{g(n)}{f(n)f(n+k)}=\lambda [\frac{\psi (n)}{f(n)}-\frac{\psi (n+k)}{f(n+k)}]$

5.\frac{1}{\sqrt{a_{n+k}}+\sqrt{a_{k}}}=\frac{1}{kd}(\sqrt{a_{n+k}}-\sqrt{a_{n}})

6.log_{a}\frac{f(n+k)}{f(n)}=log_{a}f(n+k)-log_{a}f(n)

放缩裂项

详见后文:不等式——放缩——常见放缩

不等式

证明

**1.**比较法：A.作差 B.作商

实施某些运算，产生，消去................

从已知不等关系通过某些运算变形等手段产生结论

含参不等式—1.(首选)分解因式 $\rightarrow$ 再接两根的大,小,等,讨论 2.分类讨论—先按a是否为0,再按 $\Delta$ 小, 等,大, 于0来讨论

放缩

基本不等式--- $\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$

重要不等式--- $a^2+b^2 \geq 2ab$

调和平均数--- $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}$

平方平均数--- $\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

当且仅当a=b时，等号成立

恒成立

1,分离变量

2.分类讨论

关于一元二次方程恒成立:

**1.**要按a和 $\Delta$ 讨论

2. $f(x)=ax^2+bx+c<0$ $(m_{1},m_{2})\text{恒成立(a > 0)}$

根的分布

1.代数法:韦达定理,Δ等 2.几何法:利用对称轴，Δ，端点值等

解集为空集---转化为对立面恒成立

当······时

1.利用函数的最高(或最低)点的横坐标 2.放缩中的"="成立的条件

对称式: $xy = yx$ ， $x+y=y+x$ 轮换对称式: $x+y+z=y+z+x$

柯西不等式

$(a+b)(c+d)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2$

这只是个公式，可以直接用的

解析几何

圆锥曲线

圆

轨迹方程的求法

直接(译)法
待定系数法
相关点法
定义法
参数法—设参、消参

圆的一般方程: $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

当 $D^2+E^2-4F=0$ 时，表示点 $(-\frac{D}{2}.- \frac{E}{2})$

原式 < 0时，不表示任何图形。

原式 > 0时，表示圆，圆心 $(-\frac{D}{2},- \frac{E}{2})$

意识

已知弦长

已知弦长——常用d建方程

定理

最短弦定理

过圆内一定点的所有弦中，垂直于定点与圆心的连线的弦最短

交点弦定理

过两曲线 $F_1(x,y)$ 和 $F_2(x,y)$ 的交点的曲线方程为: $F_1(x,y)+\lambda F_2(x,y)=0$

在圆中， $\lambda=-1$

定比分点公式

若 $\vec{PP_1}=\lambda\vec{P_1P_2}$ ，且 $P(x_1,y_1)$ $P_2(x_2,y_2)$ ，则 $P_1(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})$

对称

利用: 斜率之积=-1 与 中点在对称轴上建立方程

若对称轴方程中1次项系数的绝对值为1—反代

主思想

函数

基本函数​

函数零点​

函数模型​

多元问题​

三角函数​

三角恒等变换​

基本思想​

基本公式​

辅助角公式​

加减公式​

2倍角公式​

降次公式​

积化和差​

其他​

平面几何

解三角形​

三角形中的最值、范围​

已知特殊角​

意识​

有中线​

分式​

最近联想​

无限制图形​

向量​

主思想​

性质​

定理​

数量积​

向量方程​

直线与方程​

实质​

计算​

曲线过定点​

对称点的求法​

代数

数列​

通用​

裂项​

强迫裂项​

放缩裂项​

不等式​

证明​

放缩​

基本不等式---ab≤a+b2\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}ab​≤2a+b​​

重要不等式---a2+b2≥2aba^2+b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab​

调和平均数---21a+1b≤ab\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}a1​+b1​2​≤ab​​

平方平均数---a+b2≤a2+b22\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}2a+b​≤2a2+b2​​​

恒成立​

根的分布​

解集为空集---转化为对立面恒成立​

当······时​

柯西不等式​

(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a+b)(c+d)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2 (a+b)(c+d)≥(ac​+bd​)2​